Текст уведомления здесь

Математика футбольного мяча

Николай Андреев — о том, почему официальный мяч чемпионата мира на самом деле куб

Это лето проходит в России под знаком футбольного мяча. Казалось бы, мяч — предмет круглый, что еще о нем сказать? Но реальность не так проста, как кажется, и на то, чтобы повысить «сферообразность» футбольного мяча, производителям пришлось немало потрудиться. И вот уже шестой год мяч официальных турниров ФИФА — куб. Почему это так, по просьбе «Чердака» рассказывает математик Николай Андреев, создатель проекта «Математические этюды».
Добавить в закладки
Комментарии

Классика

Поверхность классического футбольного мяча состоит из слегка искривленных 12 правильных пятиугольников черного цвета и 20 правильных белых шестиугольников.

«Классическим» такой мяч был не всегда: впервые такие покрой и раскраска были использованы для официального мяча на чемпионате мира в 1970 году в Мексике. Черно-белая раскраска тогда была выбрана из соображений контрастности, чтобы мяч был лучше виден на экранах преобладавших в то время черно-белых телевизоров. Да и само название — Telstar — он получил в честь телевизионного спутника. В последующие годы раскраска официальных мячей менялась, но покрой оставался неизменным вплоть до чемпионата 2002 года.

С точки зрения математики классический футбольный мяч является усеченным икосаэдром.

Икосаэдр — один из пяти правильных многогранников. Его название происходит от древнегреческих слов «двадцать» и «основание». У икосаэдра 12 вершин, 20 граней — правильных треугольников, 30 ребер.

Изображение: Николай Андреев, «Математические этюды»

Изображение: Николай Андреев, «Математические этюды»

Если срезать вершины икосаэдра, отступив от вершин так, чтобы оставшиеся части граней были правильными шестиугольниками, то срезы будут правильными пятиугольниками. Это усеченный икосаэдр — один из полуправильных многогранников: все грани — правильные многоугольники нескольких разных типов, все вершины устроены «одинаково», т.е. многогранные углы при вершинах равны.

Итак, классический футбольный мяч — усеченный икосаэдр. Добавим еще немного математики — теорию групп, порожденных отражениями, — и сделаем простую в изготовлении, но красивую модель, которую можно продемонстрировать друзьям.

Для модели понадобятся три треугольных зеркала указанных размеров, изолента (скотч) для их скрепления, а также раскрашенный в два цвета равносторонний треугольник. Затратив немного времени на склеивание зеркального трехгранного угла, вы получите возможность, вложив в него раскрашенный треугольник, увидеть модель классического футбольного мяча! При покачивании модели относительно оси зрения картинка меняться не будет.

Зеркальные равнобедренные треугольники проще всего вырезать из пластика с зеркальным напылением. Если у вас нет возможности сделать модель, можете посмотреть видео «Математических этюдов».

Источник: Николай Андреев, «Математические этюды»

Что же это за такой магический зеркальный угол, в котором при отражениях виден футбольный мяч? (А на самом деле — икосаэдр, который виден еще более явно, если вложить в модель одноцветный треугольник.)

Зеркальный угол связан с самим икосаэдром: его вершина расположена в центре фигуры, а зеркала проходят через стороны одной из граней. Отсюда получаются и условия на стороны равнобедренных треугольников, образующих зеркальный угол. А то, что картинка в таком зеркальном угле будет икосаэдром, гарантирует теория групп, порожденных отражениями.

Современность

Как известно, сферу нельзя согнуть из плоской развертки. Это запрещает сделать математика — теорема о том, что важная характеристика поверхности, называемая гауссовой кривизной, не меняется при изгибании без растяжений.

Гауссова кривизна отражает внутреннюю геометрию поверхности и не меняется при ее изгибании. Например, у плоскости гауссова кривизна равна нулю. У цилиндра и конуса, которые можно свернуть из плоского листа бумаги, — тоже ноль.

А вот у сферы гауссова кривизна положительна. Значит, сделать сферу из плоских панелей (развертки) — невозможно. И наоборот, развернуть сферу на плоскость без искажений тоже нельзя, и все плоские карты Земли — неточны.

Поэтому какую модель мяча ни взять, ее необходимо «раздувать». А можно ли придумать модель мяча, состоящую из плоских панелей, но изначально более близкую к сфере, чем классическая? (Понятно, что можно взять многогранник с большим числом граней и вершин, но тогда усложнится процесс изготовления.)

После 2002 года начались эксперименты, и в 2014 году на чемпионате мира в Бразилии состоялась премьера нового официального мяча, получившего название Brazuca.

Модель этого мяча действительно более «сфероподобна», чем классическая. Но при этом Brazuca — это куб!

Как и куб, она собирается из шести одинаковых плоских панелей, имеющих по четыре угла. У нее восемь вершин, в каждой из которых сходится по три панели.

Изображение: Николай Андреев, «Математические этюды»

Изображение: Николай Андреев, «Математические этюды»

Придуманные фирмой Adidas панели действительно можно склеить в выпуклую поверхность. Успех гарантирует выполнение условий теоремы российского академика (и автора школьного учебника по геометрии) Александра Даниловича Александрова: сумма углов панелей в вершинах не превосходит 360 градусов, длины «сторон» панелей между углами совпадают, а сумма кривизн границ в точках склейки неотрицательна.

В модели классического мяча вся кривизна сосредоточена в конечном числе «выступающих» вершин. Все четыре угла панели Brazuca равны 120 градусам. Соответственно, когда в вершинах модели встречаются три угла, сумма углов вокруг вершины равна 360 градусам: поверхность мяча вокруг вершины будет «плоской».

Фото: fifg и Beto Chagas / Фотодом / Shutterstock
Фото: fifg и Beto Chagas / Фотодом / Shutterstock

Но куда же делась кривизна? Ведь сфера является поверхностью постоянно положительной кривизны и кривизна должна быть! В модели бразуки кривизна «размазана» по длинным ребрам — из-за этого модель становится существенно более близкой к сфере, чем модель классического мяча.

Официальный мяч нашего чемпионата 2018 года — тоже куб. В описанном смысле. Только, в отличие от предыдущей модели, панели имеют не кривые границы, а являются одинаковыми плоскими многоугольниками.

Добавить в закладки
Комментарии
Вам понравилась публикация?
Расскажите, что вы думаете, и мы подберем подходящие материалы

Берегите свой огонь

Что если старость — это неуместно затянувшаяся молодость?

«Ищут давно, но не могут найти» — это про исследования старения. Отдельных факторов, ускоряющих угасание организма, обнаружено уже очень много. Хотелось бы выявить одну ключевую причину, которая движет этим сложным процессом, искоренить и обрести наконец вечную молодость. Однако при ближайшем рассмотрении оказывается, что в старом организме работают те же самые программы, что и в молодом, просто слишком долгая их работа приводит к губительным результатам. А значит, именно с вечной молодостью нам и предстоит бороться.
Добавить в закладки
Комментарии

Кто первый начал

Любые размышления о старении неизбежно заканчиваются метафизическими спекуляциями. Какие бы его аспекты мы ни изучали, все равно хочется понять, зачем оно нужно или хотя бы — почему происходит.

Как ни удивительно, с первым вопросом разобраться проще. Можно представить себе старение как способ очистить популяцию от особей, вышедших из репродуктивного периода. Можно предположить, что быстрая смена поколений позволяет виду быстрее эволюционировать. Или просто заключить, что нет никаких биологических соображений, которые оправдывали бы вечную жизнь организмов.

Вопрос «почему» вызывает гораздо больше споров. В первую очередь потому, что мы знаем на него слишком много ответов. В старении обвиняют всех подряд — и свободные радикалы, и мутации, и неправильную работу генов, и избыточное метилирование ДНК, и миграцию ретротранспозонов, и истощение иммунной системы. И чем дальше, тем слабее надежда найти среди этих преступников зачинщика. В то же время кажется, что члены этой банды не могут действовать независимо, где-то должен существовать их вдохновитель. Иными словами, хочется отсечь лишние сущности и определить конкретную первопричину старения. [ ... ]

Читать полностью

Цвет настроения

Что такое синестезия и как она возникает?

Чувствовать запах звука, видеть окрас слов. Нам кажется это невероятным, но такова обыденность для людей, наделенных способностью к синестезии. Тысячи человек живут с этой потрясающей особенностью, но ее нейробиологические основы до сих пор остаются предметом споров.
Добавить в закладки
Комментарии

«

…моей матери все это показалось вполне естественным, когда мое свойство обнаружилось впервые: мне шел шестой или седьмой год, я строил замок из разноцветных азбучных кубиков — и вскользь заметил ей, что покрашены они неправильно. Мы тут же выяснили, что мои буквы не всегда того же цвета, что ее…

»

Эти автобиографические строки принадлежат Владимиру Набокову — одному из самых известных синестетов. Восприятие отдельных букв для него расширялось, затрагивая сразу несколько разных чувств. [ ... ]

Читать полностью

«Мы даже не понимаем степени изученности наших близлежащих дальневосточных морей!»

Большой разговор с биологом Андреем Адриановым об изучении океана, конкуренции за морские ресурсы и о том, зачем нужны ученые

Российская академия наук разрабатывает новый крупный научный проект исследования и освоения глубоководных ресурсов дальневосточных морей — по замыслу создателей, он должен стать флагманом научных исследований на Дальнем Востоке. Корреспондент «Чердака» поговорила об этом проекте, о современных исследованиях в океане и о том, зачем нужны ученые, с вице-президентом Российской академии наук, научным руководителем Национального научного центра морской биологии Дальневосточного отделения РАН Андреем Адриановым.
Добавить в закладки
Комментарии

— Вы — инициатор этого проекта? Это ваша идея?

— Сложно сказать. Потому что многие высказываются в том плане, что мы еще очень мало знаем о Мировом океане, особенно о глубоководной его части. Сама-то эта идея — сделать такой крупный проект — возникла после того, как уже произошло некое обсуждение в профессиональном сообществе.

Когда мы говорим о каких-то мегапроектах, обычно имеем в виду проекты по физике, например крупные уникальные мегаустановки. Когда мы рассуждаем о таких очень крупных проектах, чаще всего это бывают некие физические начинания — мы говорим о мегаустановках и так далее. Ну, а здесь родилась такая идея — попробовать объединить усилия и технические возможности ученых разных специальностей, чтобы попытаться заглянуть в океанские глубины.

Понятно, что эта идея все равно на чем-то основана. Мы уже примерно понимаем, что нас ждет в этих океанских глубинах, это крайне интересно, и мы связываем с этим большие надежды. [ ... ]

Читать полностью