Текст уведомления здесь

Как пифагорова струна оказалась не ладна

Откуда взялась первая теория музыкального строя, как с ней боролись в эпоху Возрождения и почему нам так не нравятся диссонансы

Один из самых долгих и упорных споров в мире — спор о том, как настраивать музыкальные инструменты. Дискуссия о настройке началась в Древней Греции, пережила Римскую империю, достигла пика в Ренессансе и закончилась только в XIX веке.
Добавить в закладки
Комментарии

Что такое музыка, настройка, темперация и зачем настраивать инструменты

Музыка состоит из звуков, а звук — это колебания среды, которая контактирует с нашей барабанной перепонкой (как правило, это воздух). Колебания эти могут быть гармоническими и негармоническими: звуки музыки относится к первым. Это значит, что если мы представим эти колебания в виде графика, то увидим аккуратную, красивую синусоиду. Негармонические колебания, то есть шум, выглядят как хаотическое нагромождение точек вдоль оси времени.

Eastern Illinois University

Для того чтобы какие-то колебания создать, нужно что-то поколебать. Исторически сложилось так, что люди использовали для этого струны и играли музыку на древних предках современной арфы, например на кифарах и лирах. Для того чтобы извлекать звуки разной высоты, нужны струны разной длины или натяжения — тут-то и возникает вопрос о том, как именно нужно натягивать струны. Иначе говоря, как настраивать инструмент.

Как с этой задачей справлялись самые древние музыканты, мы не знаем. Наверное, обходились чутьем, слухом и опытом. Первый дошедший до нас строгий способ настройки придумал человек, более известный как автор теоремы и штанов своего имени — Пифагор. Неизвестно, как это произошло на самом деле, но исторический анекдот про Пифагора и кузницу до нас дошел.

Согласно этому анекдоту, однажды Пифагор прогуливался по городу и, проходя мимо кузницы, услышал звон кузнечных молотов. Интервал между звуками, которые издавали два молота разного веса, показался ученому мелодичным, и Пифагор, наведя справки у кузнецов, узнал, что вес молотов, которые вместе звучали красиво, относился один к другому как целые числа — 2 к 1, 3 к 2, 5 к 4 и так далее. Пифагор стал экспериментировать со струнами и обнаружил, что высоты звуков, которые издают струны, точно так же соотносятся с длиной, как вес молотов с высотой звука от удара. Струна, что короче другой вдвое, звучит вдвое выше. А если взять две струны, длины которых относятся друг к другу, например, как 3 к 2, то и высота извлекаемого из них звука будет соотноситься как 3 к 2.

Пифагор выяснил, что самые приятные созвучия получаются, когда высота нот образует между собой пропорции целых чисел, и предложил настраивать инструменты, используя именно такие интервалы между нотами. Этот строй стал называться, конечно, пифагорейским.

Пифагорейский строй таил в себе изъян, который станет понятным, если мы представим себе настройку по способу древнего грека.

Предположим, что мы взяли струну произвольной длины и она играет ноту «до». Теперь мы берем еще одну струну и вспоминаем пифагорово открытие — она будет покороче, ее длина относится к длине первой как 2 к 3. Это будет нота «соль» — интервал между ними называется квинтой и считается одним из самых красивых созвучий. Потом можно взять струну, которая относится к «до» как 3 к 4. Это будет нота «фа», а интервал будет квартой. После этого можно настроить ноту «ре», взяв кварту от «соль» — струна для «ре» будет соотноситься со струной для «соль» как 4 к 3.

После этого можно взять «ля», отложив квинту от «ре» и взяв струну, которая короче струны для «ре» на треть. Или нет? Можно ведь взять «ля», использовав как эталон струну от «фа» и использовав соотношение 5 к 4. Если мы попробуем и так и эдак, то увидим, что «ля» получилась разная.

Это обнаружили и в древности, а этот зазор между разными «ля» назвали коммой. Если настроить инструмент так, что в нем будут коммы, то при игре неминуемо будут проскальзывать неприятные на слух созвучия.

Пифагора, впрочем, больше смутило другое: если построить на одном инструменте ряд нот, откладывая октавы, то есть струны с соотношением 2:1, а на другом — квинты (3:2), то эти два инструмента не будут звучать в унисон. Конечно, если семь раз взять квинту от самой первой «до», то получится, казалось бы, снова «до». Но это будет не та нота, которая должна была бы получиться, если бы мы взяли взяли четыре октавы от той же самой первой «до». Пифагор обнаружил, что сколько бы он ни шел дальше, звуки не совпадали, причем чем выше, тем расхождение было сильнее.

Окладывая по квинте от первой «до», можно получить остальные ноты, но они будут отличаться по звучанию от тех, которые можно получить, откладывая по октавеА. Лапушко

Пифагор пришел в ужас. Как для настоящего древнего грека, для него тем, на чем покоится все мироздание, были гармония, порядок и соразмерность. Любой отрезок можно было измерить отрезками поменьше, из всего можно было вывести систему, рассчитать и объяснить. Но октава не поддавалась. При делении пропорций октавы и квинты, таких прекрасных и чистых по отдельности, получались бесконечные дроби, которые казались Пифагору безумными. Ахилл на самом деле не догонял черепаху.

Пифагорейский строй хорошо подходил для той музыки, которую играли в античную эпоху. Проблемы начались позже, в Средневековье, когда появились новые инструменты и музыкальные формы. Как оказалось, пифагорейский строй не годился для совместной игры нескольких инструментов, исполнения полифонии и сложных произведений, написанных в нескольких тональностях. К тому же с пифагорейским строем очень сложно перевести произведение из одной тональности в другую: нельзя просто взять и сыграть то же самое произведение на тон выше — придется перенастраивать инструмент, потому что в противном случае он будет издавать какофонию.

Настройщики, композиторы и ученые ломали голову над тем, как избавиться от родовых болячек античной теории. В попытках как-то убрать комму ученые придумывали разные системы настройки, в которых комма просто «переезжала» из одной части звукоряда в другой или делилась на несколько частей поменьше.

Доходило до того, что в XV веке органисты подпиливали трубы своих инструментов, чтобы уменьшить плохие интервалы и убрать комму.

Конечно, при этом портилось звучание других интервалов, но всего-то чуть-чуть. Такую процедуру укорачивания назвали темперацией, то есть выравниванием.

Темперация стала решением проблемы. Практика перешла в теорию: ученые пришли к необходимости урезать или удлинить интервалы, рассчитав новые схемы настройки, чтобы ошибку, комму, «размазало» по всей гамме. Конечно, в новой системе пошли прахом пифагорейские красивые целочисленные пропорции: если раньше нестыковка вылезала где-то в одном месте, то теперь фальшивыми были все интервалы. Спасает то, что фальшь эта слишком мала, чтобы человеческое ухо могло ее услышать — ошибка составляет несколько сотых долей от интервала между двумя полутонами.

Как часто бывает с замечательными идеями, выяснить, кто первым до нее додумался, невозможно. Одним из таких людей был Симон Стевин, голландский инженер, который предложил разделить октаву на 12 равных частей. Интервал между частями, по его идее, должен был равняться корню в 12 степени из двух. Такое решение сложнее, чем пропорции простых чисел, оно убивало пифагорейские интервалы, зато одним махом разрубало весь узел проблем, которые накопились к тому времени из-за пифагорейского строя. Мы до сих пор используем 12-ступенчатый звукоряд, который состоит из семи нот (белые клавиши на фортепиано) и пяти полутонов между ними (черные клавиши).

У темперации были как заступники, так и противники. Среди ученых, которые выступали за темперацию, были, например, Галилео Галилей и его отец Винченцо, который считал, что «стерпится — слюбится»: пусть интервалы при равномерной темперации и «неправильные», но человеческое ухо легко может к этому адаптироваться.

Спор вокруг темперации выходил за рамки простой музыкальной теории или математики.

Выступая за или против нового строя, ученые апеллировали даже к богословию. Интервалы, выведенные Пифагором, считались данными свыше, божественными. Сомневаться в божественных правильных пропорциях целых чисел было греховно и противоестественно, точно так же, как подвергать сомнению геоцентрическую систему Вселенной.

Тем не менее в XVI—XVII веках книжная наука уступила место эксперименту и наблюдению и равномерная темперация стала брать верх. Галилей писал:

«Поэтому я полагаю, что, поскольку речь идет о явлениях Природы, которые непосредственно воспринимаются нашими чувствами или о которых мы умозаключаем при помощи неопровержимых доказательств, нас нисколько не должны повергать в сомнение тексты Писания, слова которого имеют видимость иного смысла, ибо ни одно изречение Писания не имеет такой принудительной силы, какую имеет любое явление Природы».

Консонанс и диссонанс

На протяжении столетий спор вокруг темперации шел потому, что одни звуки и созвучия консонансные, а другие — диссонансные. Консонанс слышать приятно и легко, а диссонанс вызывает в памяти такие ассоциации, «как кошке на хвост наступили», «как будто гвоздем по стеклу», «как будто ржавые петли скрипят». Чтобы стало понятно, что такое консонанс и диссонанс, нужно объяснить, как струна дает звук.

Беседуя с «Чердаком», композитор кино, выпускник МФТИ и РАМ им. Гнесиных Павел Жуков говорит: «Октава — это расстояние между двумя гармоническими колебаниями, точнее, длины волн этих гармонических колебаний соотносятся как 2:1. Получается, что одна волна, если мы рисуем синусоиду, пошла вверх, а потом вниз. А через одну они будут совпадать. И то же самое происходит со всеми целочисленными соотношениями, терциями и так далее — они через какое-то время совпадают. То есть они с каким-то периодом, пять длин волн, меньше или больше, они будут совпадать.

Если мы дергаем струну, возникает не только одно колебание, а возникает куча побочных, так называемые форманты или обертона. И вот эти обертона — это как раз первый обертон, это октавный обертон, следующий квинтовый, потом опять октавный, потом большая терция, потом малая септима. В общем, эти все звуки, которые прослушиваются в принципе неплохо, являются основой восприятия человеком звука. То есть те обертона, которые туда входят, воспринимаются консонансными. И туда не входит малая терция, кварта, и она долгое время считалась диссонансом, в эпоху Возрождения даже. Туда не входят секунда, септима большая и секунда малая».

Самые приятные, консонансные созвучия и правда образуют звуки с частотами, которые соотносятся одна к другой как целые числа. Например, «ля» первой октавы имеет частоту 440 герц, а «ля» второй — 880 герц. Интервал между ними — октава, и их частоты соотносятся в пропорции 1:2.

Равномерно темперированный строй хорошо сочетается с законом Вебера — Фехнера, установленным в 1860 году. В соответствии с ним интенсивность нашего ощущения от раздражителя нарастает линейно, хотя раздражитель усиливается по логарифмической шкале

Почему консонанс столь приятен нашему уху? На это нет однозначного ответа. Вот что об этом сказал «Чердаку» начальник центра нейрокоммуникативных исследований Института Пушкина, нейробиолог, кандидат биологических наук Антон Варламов, который проводил исследования восприятия музыкальной гармонии:

«За последние годы у биологов формируется понимание, что любовь человека к музыке связана с тем, что человек — социальное животное, и, по сути дела, получение удовольствия от музыки — это артефакт способности человека к речевому общению. Нам нравятся консонантные сочетания звуков. Волкам нравятся консонантные сочетания, мухоловкам (певчая птица Ficedula hypoleuca — прим. «Чердака»), детям новорожденным нравятся. Вполне логично, если человек общается голосом, если по голосу можно судить о эмоциональном состоянии собеседника, то у нас будут эти механизмы и мы будем пытаться эти параметры отслеживать.

Может быть это (любовь к консонансу — прим. «Чердака») связано с тем, что чистые тона связаны с живыми существами, с другими организмами, с общением. Такие звуки четче выделяются из окружающей природы, окружающих шумов. Можно предположить, что тембральная окраска голоса человека, именно вторые дополнительные гармоники будут соответствовать консонансному аккорду, если этот человек бодр, здоров, силен и весел».

По словам Романа Олейникова, автора книги «Построение музыкальных систем», нам не то чтобы нравился консонанс — скорее, нам точно не нравится диссонанс. Консонанс лучше уже тем, что это не беспорядочный шум. Ведь гармонические колебания мозгу просто легче обрабатывать: если частоты накладываются друг на друга и не остается лишних отзвуков, которые отвлекают внимание, нервная система меньше перегружается. В исследовании 2012 года, например, результаты опроса испытуемых показали, что «успокаивающее ощущение консонанса описывается как отсутствие диссонанса».

Пифагор, возможно, в чем-то был прав и тут, хотя ничего не знал про нейробиологию, акустику и частоты. Колебания, которые нам нравятся, называются гармоническими, а нравятся нам их сочетания потому, что их частоты аккуратно накладываются друг на друга в пропорциях, которые обнаружил древний грек.

Добавить в закладки
Комментарии
Вам понравилась публикация?
Расскажите, что вы думаете, и мы подберем подходящие материалы

Попробуй спеть мертвую песню

Как и зачем лингвисты восстанавливают звучание клинописных стихов

Из шумер в греки: кто научил Гомера сочинять стихи? Ученые из Института языкознания вместе с коллегами из Института русского языка, МГУ и Вышки пробуют восстановить звучание стихотворной речи на шумерском, аккадском и хеттском, читая клинописные тексты второго тысячелетия до нашей эры.
Добавить в закладки
Комментарии

«Встала из мрака младая с перстами пурпурными Эос…» — так или как-то похоже начинал в гомеровские времена какой-нибудь сказитель свое повествование о войнах и странствованиях. Что заставляло его переходить на поэтический язык? Почему нельзя было проще — что-то вроде «Рано утром молодая Эос с пурпурными перстами встала из мрака»? Почти любой древний эпос в основном представляет собой стихи, и не случайно. Стихотворная форма: ритм, рифма, поэтические формулы — была необходима при устной передаче длинных текстов. Зачем? Да просто потому, что иначе человеку — сказителю — трудно запомнить большие объемы текста. Попробуйте выучить наизусть «Войну и мир» и согласитесь, что «Евгения Онегина» учить значительно проще.

Кроме этого, древний эпос еще и часто складывался из отдельных частей-сюжетов, которые в более раннюю эпоху могли существовать как отдельные истории с теми же или иными героями. Такие истории как будто склеивали в единый длинный рассказ. Это тоже вызвано условиями, продиктованными необходимостью устной передачи: из относительно независимых сюжетов складываются строительные блоки длинного повествования, которые передаются из поколения в поколение и запоминаются благодаря ритмизованным структурам и формулам. Склеить разнородные блоки можно с помощью одинаковых зачинов, одинаковых героев, одинакового ритма речи, строения сюжета. Так и устроены древние сказания, которые читали нараспев или, может быть, даже пели «древние старцы», один из которых нам известен под именем Гомера.

При этом гомеровский эпос, да и в целом древнегреческая поэзия, устроены довольно сложно. Очевидно, что этой традиции предшествовала большая предыдущая культурная традиция, идущая из обширного, единого в культурном отношении региона — древнего Ближнего Востока и Малой Азии II тыс. до нашей эры, времени позднего бронзового века, времени великих царств древности, времени, предшествовавшего «темным векам» начала I тыс. до н.э., когда рушились эти самые великие царства и начиналась куда более знакомая нам цивилизация, описанная в Библии и древнегреческой литературе.

Итак, чтобы быть услышанным и усвоенным последующими поколениями, эпос дописьменной эпохи должен быть поэтическим — изложенным так, чтобы при произнесении вслух возникал некий ритм, и построенным из «строительных блоков» отдельных сюжетов. Именно такими, вероятно, были сказания, сложенные в Месопотамии и зафиксированные в первых письменностях мира, на шумерском и аккадском языках, в третьем и втором тысячелетиях до нашей эры. Например, эпос о Гильгамеше собрали из шумерских сказаний аккадцы где-то в XVIII веке до нашей эры. Достоверно известно, что в те времена уже была музыка, под которую пели песни; в шумерском языке есть слова, обозначавшие песни; найдены клинописные таблички, записи которых, вероятно, позволяют реконструировать звучание шумерской и аккадской музыки; в археологических раскопках, в частности в раскопках города Ур, обнаружены лиры, а энтузиасты даже пытаются делать их копии и играть музыку, которая звучала четыре с половиной тысячи лет назад — до строительства египетских пирамид и Стоунхеджа. Безусловно, традиция напевного повествования под лиру была известна по всему Ближнему Востоку еще 5 тысяч лет назад. [ ... ]

Читать полностью

Красота — в мозгах смотрящего

Как мы воспринимаем картины с точки зрения нейронаук

Картины — вещь фундаментальная. Их покупают на выставках, заключают в рамки и трепетно вешают в гостиных, чтобы любоваться высоким искусством в свободное время и в спокойной обстановке. Нейробиологи пытаются разобраться, что происходит в голове у зрителя во время этого возвышенного занятия, и даже тревожно, что у них кое-что получается. Ученые уже показали, что в восприятии изображений участвуют системы положительного подкрепления обучения, а взгляд, оказывается, бегает по картинам абстракционистов по тем же траекториям, какими голодные животные ищут себе пропитание.
Добавить в закладки
Комментарии

Проектор, слайды, «восемь экспериментально наивных голубей» и много-много семечек — с таким набором ученые из университета Кейо показали, что птицы тоже немного разбираются в искусстве, а точнее, могут отличать картины Пикассо и Моне. Ученые сначала обучили голубей нажимать на кнопку, чтобы получать в награду немного корма, а потом разбили их на две группы: птиц из первой группы натаскивали на Моне, а птиц из второй — на Пикассо. Для этого им показывали набор слайдов, в котором было по 10 картин каждого художника, и следили, чтобы голуби из первой группы получали награду только после того, как клевали кнопку, впечатленные картинами Моне, а голуби из второй — соответственно, картинами Пикассо.

Со временем птицы научились клевать кнопки только в нужные моменты и постепенно стали отличать художников в 90% случаев. После этого ученые перешли ко второй части испытаний: они собрали новые наборы слайдов, в которых были не только незнакомые голубям картины Пикассо и Моне, но и произведения других художников — Сезанна, Ренуара, Матисса, Брака. В этих испытаниях голуби перенесли свои приобретенные эстетические предпочтения с конкретных художников на направления живописи: фанаты Моне реагировали также на импрессионистов Сезанна и Ренуара, а поклонники Пикассо смело требовали награды после Брака и Матисса.

Слева — «Авиньонские девицы» Пабло Пикассо. Справа — «Терасса в Сант-Адресс» Клода Моне. Обе картины были в обучающей выборке эксперимента с голубями
Слева — «Авиньонские девицы» Пабло Пикассо. Справа — «Терасса в Сант-Адресс» Клода Моне. Обе картины были в обучающей выборке эксперимента с голубями

Японцы за несколько недель прорастили из неизменного для животного мира чувства голода зачатки хоть и простенького, но все-таки эстетического вкуса. По-видимому, похожая история произошла и с людьми. Тысячелетиями нашим основным источником информации было именно зрение: оно помогало отличить спелые плоды, разглядеть притаившегося хищника, выбрать себе партнера, и постепенно из этих функций визуального родилось искусство. [ ... ]

Читать полностью

Шум и ярость

Что мы знаем о влиянии звуков на здоровье человека

От шумов не убежать, и считается, что это очень плохо. Мы жалуемся на бессонницу и неврозы, мечтаем о спокойном отдыхе где-нибудь на лоне природы и ищем жилье в «тихом, зеленом районе», но, возможно, этот ажиотаж несколько избыточен. Исследования показывают, что шумы часто помогают нам в жизни, а тишина загружает наш мозг сильнее самой сложной вычислительной задачи.
Добавить в закладки
Комментарии

Крики чайки, колокольный звон, шепот в темноте — все это только распространяющиеся в пространстве колебания давления воздуха. Сначала они возбуждают механические вибрации в барабанной перепонке, а потом эти сигналы бегут по длинной цепочке из маленьких косточек (молоточка, наковальни и стремечка) среднего и внутреннего уха, слухового нерва и, наконец, головного мозга, чтобы обернуться в нашем сознании звуками.

Это описание не выглядит опасным, но звуки могут стать орудием пыток, как это было в американской тюрьме Гуантанамо, где в камерах некоторых заключенных сутками напролет горел яркий свет и на полную мощность играли песни AC/DC, Metallica или Бритни Спирс. Все вместе это доводило людей до исступления и заставляло давать признательные показания — спокойно выдержать такие нечеловеческие шумы невозможно.

Все болезни от шума?

Строго определить слово «шум» в формулах и единицах измерения невозможно. Гул машин за окном, плач ребенка, гудение лампочки — эти звуки разыгрываются в нашей голове по той же физиологической схеме с перепонками и молоточками, как и щебет птиц, а громкость оперы измеряется в точно таких же децибелах, что и фортепианные уроки соседа сверху: каждые 10 децибел громкость звука становится в два раза больше. [ ... ]

Читать полностью