Воинствующие бактерии

Задача #2 от «Квантика»

«Чердак» совместно с журналом «Квантик» начинает публиковать задачи, которые позволят вспомнить математические и логические методы.

В колонию из 100 черных бактерий попадает белая бактерия. Каждую секунду каждая белая бактерия уничтожает одну черную бактерию, после чего все бактерии делятся надвое.

Докажите, что рано или поздно все черные бактерии будут уничтожены, и выясните, в какой момент это произойдёт.


ОТВЕТ:

Посмотрим, что было бы, если бы никакие бактерии не делились надвое (назовем этот вариант задачи простым). Тогда через секунду после начала у нас осталась бы одна белая бактерия и 99 черных, еще через секунду — одна белая бактерия и 98 черных, и так далее: каждую секунду количество черных бактерий сокращалось бы на 1. Значит, все черные бактерии были бы уничтожены через 100 секунд.

Вернемся к нашей задаче. У нас после каждой секунды все бактерии делятся надвое. Можно представлять себе это так. Сначала у нас одна пробирка с бактериями. Давайте через секунду перельем половину белых и черных бактерий в другую пробирку — мы получим две пробирки, в каждой будет одна белая и 99 черных бактерий. Еще через секунду снова перельем по половине черных и белых бактерий в новые пробирки — получим 4 пробирки, в каждой — одна белая и 98 черных бактерий, и так далее.

Мы видим, что в точности повторяется сценарий простого варианта, только на каждом шаге число пробирок удваивается. Значит, и тут черные бактерии будут уничтожены через 100 секунд после начала.
Анастасия Тмур
Теги:

Читать еще на Чердаке: